বীজগণিতের সূত্রাবলিতে

i. $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

ii. $ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

iii. $x^3+y^3={(x+y)}^3+3xy(x+y)$

উপরের তথ্য অনুযায়ী নিচের কোনটি সঠিক?

বীজগণিতের সূত্রাবলি নির্ণয় করতে হলে প্রত্যেকটি সূত্র আলাদাভাবে যাচাই করতে হবে।

i. \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\)

এই সূত্রটি ঘনফলের বিয়োগফলের জন্য ব্যবহৃত হয়। ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষ প্রমাণ করা যায়:

\((x-y)(x^2 + xy + y^2)\)

\(= x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2)\)

\(= x^3 + x^2y + xy^2 - yx^2 - xy^2 - y^3\)

\(= x^3 + x^2y - x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3\)

\(= x^3 - y^3\)

সুতরাং, বিবৃতি i সঠিক।

ii. \(ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\)

\(ab\) এর এই সূত্রটি দুইটি বর্গের বিয়োগফলের সূত্র থেকে আসে। ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষ প্রমাণ করা যায়:

\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2\)

\(= \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}\)

\(= \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{4}\)

\(= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4}\)

\(= \frac{4ab}{4}\)

\(= ab\)

সুতরাং, বিবৃতি ii সঠিক।

iii. \(x^3 + y^3 = (x+y)^3 + 3xy (x+y)\)

এই সূত্রটি ঘনফলের যোগফলের জন্য ব্যবহৃত হয়। আমরা জানি, \((x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)\)।

এই সূত্র থেকে \(x^3 + y^3\) এর মান বের করলে পাই:

\(x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)

কিন্তু প্রদত্ত বিবৃতিতে \(+ 3xy(x+y)\) ব্যবহার করা হয়েছে।

সুতরাং, বিবৃতি iii ভুল।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, i ও ii নং বিবৃতি দুটি সঠিক।